同济大学高等数学（数学笔记）
1、自变量趋向有限值时函数极限定义
对于一个函数f(x)
all ε>0, exist δ>0, 当0<|x-a|<δ, 有|f(x)-A|<ε
就称lim(x->a)f(x)=A
也就是说，对于任意小的一个数ε，都会存在一个范围，这个范围就是a的δ去心邻域，也就是0<|x-a|<δ，这个范围里面多有函数值和A之间的“误差”都小于A，就称A是x趋向于a的极限
2、性质
（1）唯一性
（反证法）可以参考前面数列极限的证明方法
（2）局部有界：lim(x->a)f(x)=A, 则exist δ>0 M>0, 当0<|x-a|<δ 时，|f(x)|<=M
这个相比较数列极限全部有界来说证明方法较简单
由函数极限定义可知在0<|x-a|<δ这个范围内f(x)与极限A的“误差”不超过ε，所以当M=max{|A+ε|,|A-ε|}时，|f(x)| （3）保号性：如果lim(x->a)f(x)=A, 且A>0, 那么存在常数δ>0, 使得当0<|x-a|<δ时，有f(x)>0，反之也成立。 证(A>0时)： ∵lim(x->a)f(x)=A 取ε=A/2>0 (ε可以任意取，越小越好) exist δ>0 当0<|x-a|<δ时，|f(x)-A|<ε
